Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，直線l：4x-5y+16=0，橢圓上是否存在一點，它到直線l的距離最大？

Answer 1

分析 求出橢圓的參數方程，設出點P（5cosα，3sinα），運用點到直線的距離公式，結合輔助角公式和余弦函數的值域，即可求得最大值及對應的點P的坐標．

解答 解：由于橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$（0≤α＜2π），
設橢圓上點P（5cosα，3sinα），
則P到直線l：4x-5y+16=0的距離為d=$\frac{|20cosα-15sinα+16|}{\sqrt{16+25}}$=$\frac{|25cos（α+θ）+16|}{\sqrt{41}}$（θ為輔助角）
則當cos（α+θ）=1時，即P（4，-3）時，d取得最大值$\sqrt{41}$．
故橢圓上存在一點P（4，-3），它到直線l的距離最大．

點評 本題考查橢圓上的點到直線的距離的最大值，注意運用橢圓的參數方程，結合輔助角公式和余弦函數的值域，屬于中檔題．