5.已知△ABC的三邊是連續(xù)的三個(gè)正整數(shù),且最大角是最小角的2倍,求△ABC的面積.

分析 由題意設(shè)a=n、b=n+1、c=n+2(n∈N+),由邊角關(guān)系可得C=2A,由正弦定理和余弦定理列出方程,求出n、三邊、cosA的值,由平方關(guān)系求出sinA,代入三角形面積公式即可求出△ABC的面積.

解答 解:由題意設(shè)a=n、b=n+1、c=n+2(n∈N+),
∵最大角是最小角的2倍,∴C=2A,
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$,則$\frac{n}{sinA}=\frac{n+2}{sin2A}$,
∴$\frac{n}{sinA}=\frac{n+2}{2sinAcosA}$,得cosA=$\frac{n+2}{2n}$,
由余弦定理得,cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{(n+1)}^{2}+{(n+2)}^{2}-{n}^{2}}{2(n+1)(n+2)}$,
∴$\frac{{(n+1)}^{2}+{(n+2)}^{2}-{n}^{2}}{2(n+1)(n+2)}$=$\frac{n+2}{2n}$,
化簡(jiǎn)得,n=4,
∴a=4、b=5、c=6,cosA=$\frac{3}{4}$,
又0<A<π,∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$,
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×5×6×\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理和余弦定理,邊角關(guān)系,三角形的面積公式的綜合應(yīng)用,以及方程思想,考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力,屬于中檔題.

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(Ⅱ) 求二面角F-AE-B的余弦值;
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