Question

15．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S₃=0，S₅=-5，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$}的前2016項(xiàng)的和為-$\frac{2016}{4031}$．

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由S₃=0，S₅=-5，可得$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=0}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=-5}\end{array}\right.$，解得：a₁，d，可得a_n．再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵S₃=0，S₅=-5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=0}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=-5}\end{array}\right.$，解得：a₁=1，d=-1．
∴a_n=1-（n-1）=2-n．
∴$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$=$\frac{1}{（3-2n）（1-2n）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$，
數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$}的前2016項(xiàng)的和=$\frac{1}{2}[（-1-1）+（1-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{4029}-\frac{1}{4031}）]$=$\frac{1}{2}（-1-\frac{1}{4031}）$=-$\frac{2016}{4031}$．
故答案為：-$\frac{2016}{4031}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．