Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（1+x），x≥0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（1-x），x＜0}\end{array}\right.$．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）對任意的兩個實數(shù)x₁，x₂，求證：當(dāng)x₁+x₂＞0時，f（x₁）+f（x₂）＞0；
（3）對任何實數(shù)x，f（e^2x-a）+f（3-2e^x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性即可；
（2）根據(jù)題意有兩種情形：①若x₁＞0，x₂≥0，②若x₁≥0，x₂＜0，求出f（x₁）+f（x₂）的表達式，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)證明即可；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為a≤（e^2x-2e^x+3）_min，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）任取x＞0，則-x＜0，
f（-x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（1+x）=-log₂（1+x）=-f（x），
任取x＜0，則-x＞0，
f（-x）=log₂（1-x）=-${log}_{\frac{1}{2}}$（1-x）=-f（x），
又f（0）=0，故對于任意的x∈R，均有f（-x）=-f（x），
故函數(shù)f（x）在R上是奇函數(shù)；
（2）任取x₁，x₂屬于實數(shù)，當(dāng)x₁+x₂＞0時（不妨令x₁≥x₂），
有下列兩種情形：
①若x₁＞0，x₂≥0，
則f（x₁）+f（x₂）=log₂（1+x₁）+log₂（1+x₂）＞2log₂1=0，
②若x₁≥0，x₂＜0，
則f（x₁）+f（x₂）=log₂（1+x₁）+${log}_{\frac{1}{2}}$（1-x₂）=log₂$\frac{1{+x}_{1}}{1{-x}_{2}}$，
∵x₁+x₂＞0，∴x₁＞-x₂，1+x₁＞1-x₂＞0，
∴l(xiāng)og₂$\frac{1{+x}_{1}}{1{-x}_{2}}$＞log₂1=0，即f（x₁）+f（x₂）＞0；
（3）由（1），（2）得：
對任意兩個實數(shù)x₁，x₂，當(dāng)x₁＞-x₂時，f（x₁）＞-f（x₂）=f（-x₂），
則對任意兩個實數(shù)t₁，t₂，當(dāng)t₁＞t₂時，f（t₁）＞f（t₂），
故函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，
f（e^2x-a）+f（3-2e^x）≥0即為f（e^2x-a）≥f（2e^x-3），
故e^2x-a≥2e^x-3，
∴問題等價于對于任意實數(shù)x，a≤e^2x-2e^x+3恒成立，
只需a≤（e^2x-2e^x+3）_min，
而e^2x-2e^x+3=（e^x-1）²+2∈[2，+∞），
故a≤2．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．