Question

5．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，3S_n=a_n+1-1
（1）求a_n
（2）若b_n=（2n-1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵3S_n=a_n+1-1，
∴當(dāng)n=1時(shí)，3a₁=a₂-1，a₁=1，解得a₂=4，∴a₂=4a₁．
當(dāng)n≥2時(shí)，3S_n-1=a_n-1，3a_n=a_n+1-a_n，化為a_n+1=4a_n，
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為4．
∴a_n=4^n-1．
（2）b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•4^n-1．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=1+3×4+5×4²+…+（2n-1）•4^n-1．
4T_n=4+3×4²+…+（2n-3）×4^n-1+（2n-1）×4ⁿ，
∴-3T_n=1+2×4+2×4²+…+2×4^n-1-（2n-1）×4ⁿ=$2×\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$-1-（2n-1）×4ⁿ=$\frac{（5-6n）×{4}^{n}-5}{3}$，
∴T_n=$\frac{（6n-5）×{4}^{n}+5}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．