Question

已知等差數(shù)列{a_n}、等比數(shù)列{b_n}滿足a₁+a₂＝a₃，b₁b₂＝b₃，且a₃，a₂+ b₁，a₁+ b₂成等差數(shù)列，a₁，a₂，b₂成等比數(shù)列．

    （1）求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項公式；

（2）按如下方法從數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}中取項：

第1次從數(shù)列{a_n}中取a₁，

第2次從數(shù)列{b_n}中取b₁，b₂，

第3次從數(shù)列{a_n}中取a₂，a₃，a₄，

第4次從數(shù)列{b_n}中取b₃，b₄，b₅，b₆，

……

第2n－1次從數(shù)列{a_n}中繼續(xù)依次取2n－1個項，

第2n次從數(shù)列{b_n}中繼續(xù)依次取2n個項，

……

由此構(gòu)造數(shù)列{c_n}：a₁，b₁，b₂，a₂，a₃，a₄，b₃，b₄，b₅，b₆，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，b₇，b₈，b₉，b₁₀，b₁₁，b₁₂，…，記數(shù)列{c_n}的前n和為S_n．求滿足S_n＜2²⁰¹⁴的最大正整數(shù)n．

Answer 1

（1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為，等比數(shù)列{b_n}的公比為，

依題意，得   解得a₁=d=1，b­₁=q=2．

故a_n=n，b_n=2ⁿ．…

（2）解：將a₁，b₁，b₂記為第1組，a₂，a₃，a₄，b₃，b₄，b₅，b₆記為第2組，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，b₇，b₈，b₉，b₁₀，b₁₁，b₁₂記為第3組，……以此類推，則第n組中，有2n－1項選取于數(shù)列{a_n}，有2 n項選取于數(shù)列{b_n}，前n組共有n²項選取于數(shù)列{a_n}，有n²＋n項選取于數(shù)列{b_n}，記它們的總和為P_n，并且有．

，

．

當(dāng)＋（2＋2²＋…＋2²⁰¹²）時，

．當(dāng)＋（2＋2²＋…＋2²⁰¹³)時，

．

可得到符合的最大的n=45²＋2012=4037．