Question

16．若函數(shù)f（x）=2x+ae^x有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{1}{e}$，+∞）
• B． （-$\frac{1}{e}$，0）
• C． （-$\frac{2}{e}$，+∞）
• D． （-$\frac{2}{e}$，0）

Answer 1

分析 通過討論a討論函數(shù)的單調(diào)性，從而結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定定理確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：①當(dāng)a≥0時(shí)，易知函數(shù)f（x）=2x+ae^x是增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）=2x+ae^x不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）=2+ae^x=0得，
x=ln（-$\frac{2}{a}$）；
故f（x）在（-∞，ln（-$\frac{2}{a}$））上是增函數(shù)，在（ln（-$\frac{2}{a}$），+∞）上是減函數(shù)，
故若函數(shù)f（x）=2x+ae^x有兩個(gè)零點(diǎn)，
則f（ln（-$\frac{2}{a}$））＞0，
即2ln（-$\frac{2}{a}$）-2＞0，
a＞-$\frac{2}{e}$；
故-$\frac{2}{e}$＜a＜0；
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．