Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{e^x}+ax+b，x＜1\\{x^2}lnx-cx+c+1，x≥1\end{array}$（a，b，c∈R且為常數(shù)），函數(shù)f（x）在x=0處取得極值1．
（1）若對任意的x∈（-∞，1）都有f（x）≤f（2），求c的取值范圍；
（2）若方程f（x）=1在區(qū)間（-∞，2]上有且僅有3個根，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當x＜1時，求導f′（x）=-e^x+a，從而可得f′（0）=0，f（0）=1，從而解出a=1，b=2，代入可得x＜1時，f（x）=-e^x+x+2，f′（x）=-e^x+1，從而討論函數(shù)的單調(diào)性從而求出最大值，從而求實數(shù)c的取值范圍；
（2）由（1）知道方程f（x）=1在區(qū)間（-∞，1）有一個根，從而化為方程f（x）=1在區(qū)間[1，2]上有且僅有兩個根；再由導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點的判定定理確定函數(shù)的零點的個數(shù)，從而求出方程的根的個數(shù)，從而求實數(shù)c的取值范圍．

解答 解：（1）當x＜1時，f′（x）=-e^x+a，
由f′（0）=0，f（0）=1解得a=1，b=2，
所以，x＜1時，f（x）=-e^x+x+2，f′（x）=-e^x+1，
當x＜0時，f′（x）＞0，函數(shù)y=f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，函數(shù)y=f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
所以，f（x）在區(qū)間（-∞，1）上的最大值是f（0）=1，
即f（2）≥1，得c≤4ln2，
即實數(shù)c的取值范圍是（-∞，4ln2]；
（2）由（1）知道方程f（x）=1在區(qū)間（-∞，1）有一個根，
所以方程f（x）=1在區(qū)間[1，2]上有且僅有兩個根．
當x≥1時，f′（x）=2xlnx+x-c在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，
又f（1）=1，f′（1）=1-c，f′（2）=4ln2+2-c，
所以①c≤1時，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，
當x∈（1，2]時，f（x）＞1，方程f（x）=1在區(qū)間[1，2]上有且僅有一個根；
②c≥4ln2+2時，f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
當x∈（1，2]時，f（x）＜1方程f（x）=1在區(qū)間[1，2]上有且僅有一個根；
③當1＜c＜4ln2+2時，f′（1）＜0，f′（2）＞0，存在唯一x₀∈（1，2）使得f′（x₀）=0，
此時f（x）在區(qū)間（1，x₀）上遞減，在區(qū)間（x₀，2）上遞增，
方程f（x）=1在區(qū)間[1，2]上有且僅有兩個根等價于f（2）≥1，
即1＜c≤4ln2．
綜上，實數(shù)c的取值范圍是（1，4ln2]．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及函數(shù)的零點判定定理的應用，同時考查了分類討論的數(shù)學思想應用，屬于中檔題．