Question

18．已知函數(shù)f（x）=sin（x-$\frac{3π}{2}$）sinx-$\sqrt{3}$cos²x，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求函數(shù)f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式，輔助角公式化簡f（x），由此得到最值與周期．
（2）由f（x）解析式得到單調(diào)增減區(qū)間，由此得到在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的單調(diào)性．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（x-$\frac{3π}{2}$）sinx-$\sqrt{3}$cos²x，
=cosxsinx-$\sqrt{3}$cos²x=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（x）的最小正周期為T=π，
f（x）的最大值為1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）由（1）可知，f（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]上的單調(diào)遞增，
在[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]上的單調(diào)遞減，
而[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]⊆[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]，[$\frac{5π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]⊆[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]．
∴函數(shù)f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]上的單調(diào)遞增，在[$\frac{5π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]上的單調(diào)遞減．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式，輔助角公式，以及單調(diào)區(qū)間．