Question

3．△ABC滿足：AB=4，AC=2，A=$\frac{π}{3}$，已知AD垂直BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)為AB，AC中點(diǎn)，則$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$=1．

Answer 1

分析 由條件及余弦定理便可求出$BC=2\sqrt{3}$，從而可判斷AC⊥BC，點(diǎn)C和點(diǎn)D重合，然后可分別以CB，CA所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，然后便可求出圖形上各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{DF}$的坐標(biāo)，從而便可得出$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DF}$的值．

解答 解：根據(jù)條件，在△ABC中，由余弦定理得，BC²=16+4-8=12；
∴$BC=2\sqrt{3}$；
∴BC²+AC²=AB²；
∴AC⊥BC；
即D與C重合；
∴分別以CB，CA所在直線為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則：
D（0，0），B（$2\sqrt{3}$，0），$A（0，2），E（\sqrt{3}，1），F(xiàn)（0，1）$；
∴$\overrightarrow{DE}=（\sqrt{3}，1），\overrightarrow{DF}=（0，1）$；
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DF}=1$．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 考查余弦定理，直角三角形邊的關(guān)系，通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)解決向量問題的方法，能求平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可求向量的坐標(biāo)，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．