Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；

（2）討論的單調(diào)性；

（3）設(shè)、為曲線上的任意兩點，并且，若恒成立，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）若， 在上遞增；若，時，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減；（3）證明見解析.

【解析】

（1）將代入可得函數(shù)解析式,求得導(dǎo)數(shù)并代入求得切線的斜率.將代入函數(shù)可得切點坐標(biāo),由點斜式即可求得切線方程.

（2）先求得導(dǎo)函數(shù),對分類討論,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可判斷單調(diào)性.

（3）根據(jù)恒成立及（2）中函數(shù)單調(diào)性的討論,可求得.代入函數(shù)并結(jié)合不等式即可得.利用定義作差,得,化簡后即可證明.

（1）當(dāng)時,,

對函數(shù)求導(dǎo)得,

∴,又,

∴曲線在處的切線方程為：；

（2）求導(dǎo)得,

若,,在上遞增；

若,當(dāng)時,,單調(diào)遞增；

當(dāng)時,,單調(diào)遞減.

（3）由（2）知,若,在上遞增,

又,故不恒成立.

若,當(dāng)時,遞減,,不合題意.

若,當(dāng)時,遞增,,不合題意.

若,在上遞增,在上遞減,,合題意.

故,且（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）.

設(shè),,

∴,

因此,

即