Question

10．有下列五個命題：
（1）在平面內(nèi)，F(xiàn)₁、F₂是定點，|F₁F₂|=6，動點M滿足|MF₁|+|MF₂|=6，則點M的軌跡是橢圓；
（2）過M（2，0）的直線L與橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1交于P₁、P₂兩點，線段P₁P₂中點為P，設(shè)直線L的斜率為k₁（k₁≠0），直線OP的斜率為k₂，則k₁k₂等于-$\frac{1}{2}$；
（3）“若-3＜m＜5，則方程$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{m+3}=1$是橢圓”；
（4）橢圓$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，點P為橢圓上的點，則能使$∠{F_1}P{F_2}=\frac{π}{2}$的點P的個數(shù)0個；
（5）“m=-2”是“直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0垂直”的必要不充分條件；
其中真命題的序號是（2）、（4）．

Answer 1

分析 （1）在平面內(nèi)，F(xiàn)₁、F₂是定點，|F₁F₂|=6，動點M滿足|MF₁|+|MF₂|=6，則點M的軌跡是線段F₁F₂，即可判斷出正誤；
（2）設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），線段P₁P₂中點P（x₀，y₀），代入橢圓方程可得：$\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{2}$+（y₂+y₁）（y₂-y₁）=0，化為1+2k₁k₂=0，即可判斷出正誤；（3）方程$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{m+3}=1$是橢圓?$\left\{\begin{array}{l}{5-m＞0}\\{m+3＞0}\\{5-m≠m+3}\end{array}\right.$，解得m范圍即可判斷出正誤；
（4）橢圓$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，點P為橢圓上的點，取橢圓的短軸端點P（0，$\sqrt{6}$），則∠F₁PF₂為最大角，而tan∠F₁PO=$\frac{c}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$＜1，即可判斷出正誤；
（5）由直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0，對m分類討論：利用兩條直線垂直的充要條件即可得出正誤．

解答 解：（1）在平面內(nèi)，F(xiàn)₁、F₂是定點，|F₁F₂|=6，動點M滿足|MF₁|+|MF₂|=6，則點M的軌跡是線段F₁F₂，不是橢圓，是假命題；
（2）設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），線段P₁P₂中點P（x₀，y₀），由于$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}+{y}_{1}^{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}$+${y}_{2}^{2}$=1，相減可得：$\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{2}$+（y₂+y₁）（y₂-y₁）=0，化為x₀+k₁•2y₀=0，∴1+2k₁k₂=0，因此k₁k₂等于-$\frac{1}{2}$，是真命題；
（3）方程$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{m+3}=1$是橢圓?$\left\{\begin{array}{l}{5-m＞0}\\{m+3＞0}\\{5-m≠m+3}\end{array}\right.$，解得-3＜m＜5，m≠1，因此“若-3＜m＜5，則方程$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{m+3}=1$是橢圓”是假命題；
（4）橢圓$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，點P為橢圓上的點，取橢圓的短軸端點P（0，$\sqrt{6}$），則∠F₁PF₂為最大角，而tan∠F₁PO=$\frac{c}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$＜1，∴$0＜∠{F}_{1}PO＜\frac{π}{4}$，∴0＜∠F₁PF₂＜$\frac{π}{2}$，因此能使$∠{F_1}P{F_2}=\frac{π}{2}$的點P的個數(shù)0個，是真命題；
（5）由直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0，對m分類討論：當(dāng)m=0時，兩條直線分別化為：2x+1=0，-2x+2y-3=0，此時兩條直線不垂直，舍去；當(dāng)m=-2時，兩條直線分別化為：-2y+1=0，-4x-3=0，此時兩條直線垂直，因此m=-2；當(dāng)m≠0，-2時，由于兩條直線垂直可得：-$\frac{m+2}{m}$×$\frac{2-m}{m+2}$=-1，解得m=1．綜上可得：此兩條直線垂直的充要條件為：m=-2或1，因此“m=-2”是“直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0垂直”的充分不必要條件．是假命題．
綜上可得：真命題為（2）、（4）．
答案為：（2）、（4）．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．