20．如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，過EF的截面EFG與底面成60°二面角，且與棱AA1交于G，求棱錐G-AEF的體積．

分析 作出二面角的平面角，利用幾何知識計算出GA的長，代入棱錐的體積公式計算即可．

解答 解：∵AE=AF，∠GAF=∠GAE=90°，AG是公共邊，∴△GAF≌△GAE，∴GF=GE，即△GEF是等腰三角形．
取EF的中點M，連結GM，AM，則∠GMA為二面角A-EF-G的平面角，∴∠AMG=60°．
∵AE=AF=1，∴EF=$\sqrt{2}$，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}EF$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴GA=$\sqrt{3}$AM=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴棱錐G-AEF的體積V=$\frac{1}{3}$S△AEF•GA=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$．

點評 本題考查了二面角的作法，棱錐的體積計算，正確作出二面角的平面角是關鍵，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

10．有下列五個命題：
（1）在平面內，F(xiàn)1、F2是定點，|F1F2|=6，動點M滿足|MF1|+|MF2|=6，則點M的軌跡是橢圓；
（2）過M（2，0）的直線L與橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1交于P1、P2兩點，線段P1P2中點為P，設直線L的斜率為k1（k1≠0），直線OP的斜率為k2，則k1k2等于-$\frac{1}{2}$；
（3）“若-3＜m＜5，則方程$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{m+3}=1$是橢圓”；
（4）橢圓$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上的點，則能使$∠{F_1}P{F_2}=\frac{π}{2}$的點P的個數(shù)0個；
（5）“m=-2”是“直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0垂直”的必要不充分條件；
其中真命題的序號是（2）、（4）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

11．設集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，則A∩B={x|0＜x≤2}．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

8．直線l1：x-y+1=0，l2：x-y=0之間的距離為（　　）
A．1B．$\frac{\sqrt{2}}{2}$C．$\sqrt{2}$D．2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

15．已知，棱長為2的正方體內有一內接四面體A-BCD，且B，C分別為正方體某兩條棱的中點，其三視圖如圖所示：
（Ⅰ）求證：AD⊥BC；
（Ⅱ）求四面體A-BCD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

5．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+6≥0}\\{4x-y-2≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，若目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為（　�。�
A．9+2$\sqrt{14}$B．4+2$\sqrt{6}$C．9+2$\sqrt{15}$D．5+2$\sqrt{6}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

12．閱讀下列算法語句：
i=1
WHILE i*（i+1）＜20
 i=i+1
WEND
PRINT“i=”；i
END
則執(zhí)行圖中語句的結果是輸出i=4．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

9．已知p：1≤x≤2，q：a≤x≤a+2，且￢p是￢q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是[0，1]．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

10．若函數(shù)f（x）=lg[（1-a2）x2+4（a-1）x+4]值域為R，求實數(shù)a滿足的條件．

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