Question

2．已知函數(shù)f（x）=e^x-e^-x+4sin³x+1，x∈（-1，1），若f（1-a）+f（1-a²）＞2成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-2，1）
• B． （0，1）
• C． $（{1，\sqrt{2}}）$
• D． （-∞，-2）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-1，則可得g（x）為奇函數(shù)，且g（x）在（-1，1）上為增函數(shù)，進(jìn)而可得答案．

解答 解：令g（x）=f（x）-1=e^x-e^-x+4sin³x，
則g（-x）=-g（x），即g（x）為奇函數(shù)，
若f（1-a）+f（1-a²）＞2成立，
即g（1-a）+g（1-a²）＞0成立，
即g（1-a）＞-g（1-a²）=g（a²-1），
∵g′（x）=e^x+e^-x+12sin²xcosx≥0在x∈（-1，1）時(shí)恒成立，
故g（x）在（-1，1）上為增函數(shù)，
故-1＜a²-1＜1-a＜1，
解得：a∈（0，1），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．