Question

6．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a，b＞0）的左、右焦點，過F₁且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABF₂為鈍角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． $（\sqrt{2}+1，+∞）$
• C． $（1，\sqrt{2}+1）$
• D． $（1，\sqrt{3}）$

Answer 1

分析 由過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點可知△ABC為等腰三角形，所以△ABF₂為鈍角三角形只要∠AF₂B為鈍角即可，由此可知$\frac{^{2}}{a}$＞2c，從而能夠推導出該雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答 解：由題設條件可知△ABC為等腰三角形，只要∠AF₂B為鈍角即可，
所以有$\frac{^{2}}{a}$＞2c，即2ac＜c²-a²，解出e∈（1+$\sqrt{2}$，+∞），
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的離心率和鈍角三角形的判斷，在解題過程中要注意隱含條件的挖掘．