Question

15．如圖，過圓外一點(diǎn)P的直線交圓O于A、B兩點(diǎn)，PE是圓O的切線，CP平分∠APE，分別與AE、BE交于點(diǎn)C，D．
求證：（1）CE=DE；  
（2）$\frac{CA}{CE}$=$\frac{PE}{PB}$．

Answer 1

分析 （1）由弦切角定理得∠A=∠BEP，由角平分線性質(zhì)得到∠ECD=∠EDC，由此能證明EC=ED．
（2）由已知條件推導(dǎo)出△PBD∽△PEC，△PDE∽△PCA，由此能證明$\frac{CA}{CE}$=$\frac{PE}{PB}$．

解答 證明：（1）∵PE是圓O的切線，∴∠A=∠BEP，
∵PC平分∠APE，∴∠A+∠CPA=∠BEP+∠DPE，
∵∠ECD=∠A+∠CPA，∠EDC=∠BEP+∠DPE，
∴∠ECD=∠EDC，∴EC=ED．
（2）∵∠PDB=∠EDC，∠EDC=∠ECD，∠PDB=∠PCE，
∴∠BPD=∠EPC，∴△PBD∽△PEC，
∴$\frac{PE}{PB}=\frac{PC}{PD}$，
同理，△PDE∽△PCA，∴$\frac{PC}{PD}=\frac{CA}{DE}$，
∴$\frac{CA}{CE}$=$\frac{PE}{PB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩條線段相等的證明，考查線段比值相等的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意弦切角定理和三角形相似的性質(zhì)定理的合理運(yùn)用．