Question

7．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n²-2S_n-a_n•S_n+1=0，n∈N^*．
（1）求a₁的值；
（2）證明數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}-1}$}是等差數(shù)列；
（3）已知b_n=$\frac{n+1}{n+2}$S_n（n∈N₊），求數(shù)列{b_n}列的前2015項之積．

Answer 1

分析 （1）直接在數(shù)列遞推式中取n=1求得a₁的值；
（2）當(dāng)n≥2時，把S_n用含有S_n-1的代數(shù)式表示，然后利用定義法證明數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}-1}$}是等差數(shù)列；
（3）由（2）求出S_n，代入b_n=$\frac{n+1}{n+2}$S_n，再利用累積法求得數(shù)列{b_n}列的前2015項之積．

解答 （1）解：當(dāng)n=1時，由已知可得${{a}_{1}}^{2}-2{a}_{1}-{{a}_{1}}^{2}+1=0$，解得${a}_{1}=\frac{1}{2}$；
（2）證明：∵S_n²-2S_n-a_n•S_n+1=0，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，代入上式，得：S_nS_n-1-2S_n+1=0．
∴S_n與S_n-1（n≥2）的關(guān)系式為${S}_{n}=\frac{1}{2-{S}_{n-1}}$，
∴當(dāng)n≥2時，$\frac{1}{{S}_{n}-1}-\frac{1}{{S}_{n-1}-1}=\frac{1}{\frac{1}{2-{S}_{n-1}}-1}-\frac{1}{{S}_{n-1}-1}$=$\frac{2-{S}_{n-1}}{{S}_{n-1}-1}-\frac{1}{{S}_{n-1}-1}=-1$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}-1}=-2$為首項，-1為公差的等差數(shù)列．
（3）解：由（2）可知$\frac{1}{{S}_{n}-1}=-2-（n-1）$，∴${S}_{n}=\frac{n}{n+1}$，
∴$_{n}=\frac{n+1}{n+2}•{S}_{n}=\frac{n}{n+2}$，
∴$_{1}_{2}…_{2015}=\frac{1}{3}•\frac{2}{4}•\frac{3}{5}…\frac{2014}{2016}•\frac{2015}{2017}=\frac{1}{2033136}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了累積法求數(shù)列的通項公式，是中檔題．