分析 (1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由題意列a,c的方程組,求得a,c的值,再由隱含條件求得b,則橢圓方程可求;
(2)設(shè)出直線l的方程為:y=kx+m,可得A(2,2k+m),B(-2,m-2k),由$\overrightarrow{{F_2}A}•\overrightarrow{{F_2}B}=0$,得(1,2k+m)•(-3,m-2k)=0,即m2=4k2+3.聯(lián)立直線方程與橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,利用判別式等于0得答案.
解答 解:(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由題意有:$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{c+3=2(-c+3)}\end{array}\right.$,解得a=2,c=1.
∴b2=a2-c2=3.
則橢圓C的方程為:$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$;
(2)由題意可知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為:y=kx+m.
則A(2,2k+m),B(-2,m-2k),
由$\overrightarrow{{F_2}A}•\overrightarrow{{F_2}B}=0$,得(1,2k+m)•(-3,m-2k)=0,
即m2=4k2+3.
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
∵△=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=4(48k2-12m2+36)=0.
∴直線l與橢圓C的交點個數(shù)是1.
點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),可直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,訓(xùn)練了向量垂直與數(shù)量積間關(guān)系的應(yīng)用,是中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 先向左平移$\frac{π}{6}$個單位,再將各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍 | |
B. | 先向右平移$\frac{π}{6}$個單位,再將各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍 | |
C. | 先向左平移$\frac{π}{3}$個單位,再將各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍 | |
D. | 先向右平移$\frac{π}{3}$個單位,再將各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 3 | B. | 4 | C. | 5 | D. | 6 |
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