10.已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a>b>0})$的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,離心率為$\frac{1}{2}$,在x軸上有一點M(-3,0)滿足$\overrightarrow{M{F_2}}=2\overrightarrow{M{F_1}}$.
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線l與直線x=2交于點A,與直線x=-2交于點B,且$\overrightarrow{{F_2}A}•\overrightarrow{{F_2}B}=0$,判斷并證明直線l與橢圓C的交點個數(shù).

分析 (1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由題意列a,c的方程組,求得a,c的值,再由隱含條件求得b,則橢圓方程可求;
(2)設(shè)出直線l的方程為:y=kx+m,可得A(2,2k+m),B(-2,m-2k),由$\overrightarrow{{F_2}A}•\overrightarrow{{F_2}B}=0$,得(1,2k+m)•(-3,m-2k)=0,即m2=4k2+3.聯(lián)立直線方程與橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,利用判別式等于0得答案.

解答 解:(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由題意有:$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{c+3=2(-c+3)}\end{array}\right.$,解得a=2,c=1.
∴b2=a2-c2=3.
則橢圓C的方程為:$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$;
(2)由題意可知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為:y=kx+m.
則A(2,2k+m),B(-2,m-2k),
由$\overrightarrow{{F_2}A}•\overrightarrow{{F_2}B}=0$,得(1,2k+m)•(-3,m-2k)=0,
即m2=4k2+3.
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
∵△=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=4(48k2-12m2+36)=0.
∴直線l與橢圓C的交點個數(shù)是1.

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),可直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,訓(xùn)練了向量垂直與數(shù)量積間關(guān)系的應(yīng)用,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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20.已知函數(shù)f(x)=3sin(ωx+ϕ)$(ω>0,|ϕ|≤\frac{π}{2})$的部分圖象如圖所示,A,B兩點之間的距離為10,且f(2)=0,若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移t(t>0)的單位長度后所得函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱,則t的最小值為( 。
A.1B.2C.3D.4

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A.先向左平移$\frac{π}{6}$個單位,再將各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍
B.先向右平移$\frac{π}{6}$個單位,再將各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍
C.先向左平移$\frac{π}{3}$個單位,再將各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍
D.先向右平移$\frac{π}{3}$個單位,再將各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍

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A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

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2.若二項式${({x-\frac{1}{{\sqrt{x}}}})^n}$的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大,則展開式中常數(shù)項為15.

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A.3B.4C.5D.6

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20.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各個棱長都相等,E為BC的中點,動點F在CC1上,且不與點C重合
(1)當(dāng)CC1=4CF時,求證:EF⊥A1C
(2)設(shè)二面角C-AF-E的大小為α,求tanα的最小值.

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