Question

6．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{2x+1}{x}$（a∈R）在x=-2處的切線與直線4x-3y=0垂直．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）如存在x∈（1，+∞），使f（x）＜$\frac{m（x-1）+2}{x}$（m∈Z）成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（2）的值，求出a，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，m＞$\frac{-xlnx+2x-1}{x-1}$成立，設(shè)g（x）=$\frac{-xlnx+2x-1}{x-1}$，（x＞1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$，
∵f′（2）=$\frac{2a-1}{4}$=-$\frac{3}{4}$，解得：a=-1，
∴f′（x）=$\frac{-x-1}{{x}^{2}}$≤0，
∴f（x）在（0，+∞）遞增；
（2）∵x∈（1，+∞），
∴f（x）＜$\frac{m（x-1）+2}{x}$?m＞$\frac{-xlnx+2x-1}{x-1}$，
即當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，m＞$\frac{-xlnx+2x-1}{x-1}$成立，
設(shè)g（x）=$\frac{-xlnx+2x-1}{x-1}$，（x＞1），
則g′（x）=$\frac{lnx-x}{{（x-1）}^{2}}$，
設(shè)h（x）=lnx-x，（x＞1），則h′（x）=$\frac{1}{x}$-1＜0，
∴h（x）在（1，+∞）遞減，
又h（1）＜0，∴h（x）＜0，即g′（x）＜0，
∴g（x）在（1，+∞）遞減，
而x→1時(shí)，g（x）→+∞，
∴不存在實(shí)數(shù)m的值，滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及切線方程問(wèn)題，是一道中檔題．