15.設(shè)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x},}{x>0}\end{array}\\ \begin{array}{l}{x{,_{\;}}}{\;}{x<0}\end{array}\end{array}$,若關(guān)于x的方程[f(x)]2-(a+3)f(x)+a=0恰有3個不同的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是(-2,0).

分析 作出函數(shù)f(x)的圖象,利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次函數(shù),利用根的分布建立不等式進行求解即可.

解答 解:當x>0時,f(x)=x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2,當且僅當x=1時取等號,
設(shè)t=f(x)
作出函數(shù)f(x)的圖象如圖:
則方程[f(x)]2-(a+3)f(x)+a=0等價為t2-(a+3)t+a=0,
若[f(x)]2-(a+3)f(x)+a=0恰有3個不同的實根,
則等價為t2-(a+3)t+a=0,有兩個不同的根,
①t1=2或t2>2,
當t1=2時,4-2(a+3)+a=0,得a=-2,此時t1+t2=a+3=1,則t2=1-t1=1-2=-1>2不成立,
②t1<0或t2>2,
設(shè)h(t)=t2-(a+3)t+a,
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{h(0)<0}\\{h(2)<0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{a<0}\\{-a-2<0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{a<0}\\{a>-2}\end{array}\right.$,
即-2<a<0,
故答案為:(-2,0).

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,利用換元法將方程轉(zhuǎn)換一元二次函數(shù),利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.在平面直角坐標系xOy中,圓C1的參數(shù)方程為:$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$(α為參數(shù)),M是圓C1上得動點,MN⊥x軸,垂足為N,P是線段MN的中點,點P的軌跡為曲線C2
(1)求C2的參數(shù)方程;
(2)在以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線θ=$\frac{π}{6}$與C1的異于極點的交點為A,與C2的異于極點的交點為B,求△C1AB的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.已知函數(shù)f(x)=alnx+$\frac{2x+1}{x}$(a∈R)在x=-2處的切線與直線4x-3y=0垂直.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)如存在x∈(1,+∞),使f(x)<$\frac{m(x-1)+2}{x}$(m∈Z)成立,求m的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.設(shè)集合A={x|x2<2x+8,x∈N},B={y|y=2x,x≤2,x∈N},用列舉法表示A,B和A∩B.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.已知函數(shù)f(x)=${log_{\frac{1}{3}}}({x^2}-ax+3a)$在[1,+∞)上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是(  )
A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.$[-\frac{1}{2},2]$D.$(-\frac{1}{2},2]$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.已知函數(shù)f(x)=kex-x2,(其中k∈R,e是自然對數(shù)的底數(shù)),
(Ⅰ)若k=2,當x∈(0,+∞)時,試比較f(x)與2的大;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1,x2,且x1<x2,
(i)求k的取值范圍;
(ii)證明0<f(x1)<1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

9.在直三棱錐P-ABC中,側(cè)面PAB與底面ABC垂直,且PD垂直底面,PD=BD,△ACB是直角三角形,AD=$\frac{1}{3}$DB;BC=$\sqrt{3}$AC.
(1)求證:PA⊥CD;
(2)求二面角C-PB-A的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.如圖,PA是圓的切線,A是切點,M是PA的中點,過點M作圓的割線交圓于點C,B,連接PB,PC分別交圓于點E,F(xiàn),EF與BC的交點為N.
求證:
(Ⅰ)EF∥PA;
(Ⅱ)MA•NE=MC•NB.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

7.如圖所示,△ABC內(nèi)接于⊙O,AD是⊙O的切線,切點為A,∠DAC的平分線交⊙O于E,且滿足AB⊥AE.
(I)證明:∠BAC=∠BCA;
(Ⅱ)設(shè)⊙O的半徑為1,AC=$\sqrt{3}$,CE的延長線交AD于點F,求△AFC外接圓的面積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案