Question

15．設(shè)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，}{x＞0}\end{array}\\ \begin{array}{l}{x{，_{\;}}}{\;}{x＜0}\end{array}\end{array}$，若關(guān)于x的方程[f（x）]²-（a+3）f（x）+a=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，0）．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次函數(shù)，利用根的分布建立不等式進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
設(shè)t=f（x）
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
則方程[f（x）]²-（a+3）f（x）+a=0等價(jià)為t²-（a+3）t+a=0，
若[f（x）]²-（a+3）f（x）+a=0恰有3個(gè)不同的實(shí)根，
則等價(jià)為t²-（a+3）t+a=0，有兩個(gè)不同的根，
①t₁=2或t₂＞2，
當(dāng)t₁=2時(shí)，4-2（a+3）+a=0，得a=-2，此時(shí)t₁+t₂=a+3=1，則t₂=1-t₁=1-2=-1＞2不成立，
②t₁＜0或t₂＞2，
設(shè)h（t）=t²-（a+3）t+a，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{h（0）＜0}\\{h（2）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-a-2＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a＞-2}\end{array}\right.$，
即-2＜a＜0，
故答案為：（-2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法將方程轉(zhuǎn)換一元二次函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．