Question

20．在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D為BC的中點(diǎn)，PB=PC=$\sqrt{26}$，cos∠BPC=$\frac{5}{13}$，在△PAD中，過(guò)A作AM⊥PD于M．
（Ⅰ）求證：AM⊥PC；
（Ⅱ）若AD=3，求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先證明：BC⊥平面PAD，可得BC⊥AM，再利用AM⊥PD，PD∩BC=D，可得AM⊥平面PBC，即可證明AM⊥PC；
（Ⅱ）由余弦定理可得BC，求出PD，可得三角形PBC的面積，再求出AM，利用等體積即可求三棱錐P-ABC的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵D為BC的中點(diǎn)，PB=PC，
∴BC⊥PD，
∵PA⊥底面ABC，BC?底面ABC，∴BC⊥PA，
∵PA∩PD=P，∴BC⊥平面PAD，
∵AM?平面PAD，∴BC⊥AM，
∵AM⊥PD，PD∩BC=D，∴AM⊥平面PBC，
∵PC?平面PBC，∴AM⊥PC；
（Ⅱ）解：∵PB=PC=$\sqrt{26}$，cos∠BPC=$\frac{5}{13}$，
∴由余弦定理可得BC=4$\sqrt{2}$，
∴PD=$\sqrt{26-8}$=3$\sqrt{2}$，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×3\sqrt{2}$=12，
∵AD=3，∴PA=3，
∴AM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴V_P-ABC=V_A-PBC=$\frac{1}{3}×12×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=6$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用線面垂直的判定與性質(zhì)，合理運(yùn)用等體積轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．