Question

定義：若數(shù)列{A_n}滿足A_n+1=A_n²，則稱數(shù)列{A_n}為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=2x²+2x的圖象上，其中n為正整數(shù)．
（1）證明：數(shù)列{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列{lg（2a_n+1）}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)（1）中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)之積為T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）•…•（2a_n+1），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)及T_n的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）依題意，可得2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²，依新定義可證數(shù)列{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”，繼而可證

lg(2an+1+1)

lg(2an+1)

=2，數(shù)列{lg（2a_n+1）}為等比數(shù)列；
（2）由（1）知數(shù)列{lg（2a_n+1）}為等比數(shù)列，從而可得lg（2a_n+1）=2^n-1•lg5=lg52n-1，易求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；再由lgT_n=lg（2a₁+1）+lg（2a₂+1）+…+lg（2a_n+1）=

(1-2n)•lg5

1-2

=（2ⁿ-1）lg5=lg52n-1，即可求得T_n的表達(dá)式．

解答： （1）證明：由條件得a_n+1=2a_n²+2a_n．
∴2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²．
∴數(shù)列{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”．
由a₁=2及2a_n+1+1=（2a_n+1）²，
知2a_n+1＞1恒成立，且lg（2a_n+1+1）=2lg（2a_n+1），
∴

lg(2an+1+1)

lg(2an+1)

=2．
∴數(shù)列{lg（2a_n+1）}為等比數(shù)列．
（2）解：∵a₁=2，∴l(xiāng)g（2a₁+1）=lg5，
∴l(xiāng)g（2a_n+1）=2^n-1•lg5=lg52n-1，
∴2a_n+1=52n-1．
∴a_n=

1

2

（52n-1-1）．
∵lgT_n=lg（2a₁+1）+lg（2a₂+1）+…+lg（2a_n+1）
=

(1-2n)•lg5

1-2

=（2ⁿ-1）lg5=lg52n-1，
∴T_n=52n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，考查等比關(guān)系的確定及等比數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式的綜合應(yīng)用，考查推理運(yùn)算能力，屬于難題．