Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，f（xy）=f（x）+f（y），若f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由于f（3）=1，f（xy）=f（x）+f（y），則f（9）=2，原不等式即f（x）＞f[9（x-1）]由單調(diào)性得，

a＞0 a-1＞0 a＞9(a-1)

，解出不等式組，即可得到解集．

解答： 解：∵f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，
∴f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=2，
∴f（a）＞f（a-1）+2=f（a-1）+f（9）=f[9（a-1）]．
∵f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴

a＞0 a-1＞0 a＞9(a-1)

，
解得1＜a＜

9

8

，
故所求a的取值范圍為（1，

9

8

）

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，注意函數(shù)的定義域，考查不等式的解法，屬于中檔題．