Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）是最小正周期為π的偶函數(shù)，則（　　）

• A． f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減
• B． f（x）在（$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$）上單調(diào)遞減
• C． f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增
• D． f（x）在（$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$）上單調(diào)遞增

Answer 1

分析 利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，利用周期公式求得ω，利用函數(shù)的奇偶性取得φ，得出函數(shù)的解析式，最后利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求得答案．

解答 解：f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$），
依題意知T=$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2，
∵函數(shù)為偶函數(shù)，
∴φ+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$cos2x，
∴f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減．
故選A．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．考查了學(xué)生的計(jì)算能力和細(xì)心程度．