Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$+x+1，若f（a）+f（a+1）＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由函數(shù)的解析式可得f（x）是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，故由f（a）+f（a+1）＞0可得f（a）＞f（-a-1），從而得到a＞-a-1，由此求得a的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$+x+1=$\frac{{e}^{x}+1-2}{{e}^{x}+1}$+x+1=x+2-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$，∴f′（x）=1+$\frac{{2e}^{x}}{{{（e}^{x}+1）}^{2}}$＞0，
故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
對(duì)于函數(shù)f（x）=x+2-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$的定義域?yàn)镽，且滿足f（-x）=2-x-$\frac{2}{{e}^{-x}+1}$=2-x-$\frac{2{•e}^{x}}{1{+e}^{x}}$
=2-x-$\frac{2{（e}^{x}+1）-2}{1{+e}^{x}}$=-x-2+$\frac{2}{{e}^{x}+1}$=-f（x），
故f（x）為奇函數(shù)．
由f（a）+f（a+1）＞0，可得f（a）＞-f（a+1）=f（-a-1），
∴a＞-a-1，解得 a＞-$\frac{1}{2}$．
故答案為：（-$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．