Question

某同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=

ax

1+|x|

(x∈R，a＞0)時，分別給出下面幾個結(jié)論：
①等式f（-x）+f（x）=0對x∈R恒成立；
②函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-a，a]；
③函數(shù)f（x）為R的單調(diào)函數(shù)；
④若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
⑤函數(shù)g（x）=f（x）-ax在R上有三個零點(diǎn)．
其中正確結(jié)論的序號有

 

．（請將你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①計(jì)算f（-x）+f（x）即可；
②當(dāng)x＞0時，f（x）=

ax

1+x

＜a；當(dāng)x=0時，f（0）=0；當(dāng)x＜0時，利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可得出f（x）＞-a；
③當(dāng)x＞0時，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)及f（0）=0可知：f（x）在R上單調(diào)遞增；
④由③函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出；
⑤當(dāng)x≥0時，g（x）=

-ax2

1+x

，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得函數(shù)g（x）在x≥0時單調(diào)性，進(jìn)而判斷出g（x）在x＞0時零點(diǎn)的個數(shù)．利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：①f（-x）+f（x）=

-ax

1+|-x|

+

ax

1+|x|

=0，正確；
②當(dāng)x＞0時，f（x）=

ax

1+x

＜a；當(dāng)x=0時，f（0）=0；當(dāng)x＜0時，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）＞-a．
綜上可得：函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?a，a），因此不正確；
③當(dāng)x＞0時，f′（x）=

a

(1+x)2

＞0，可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)及f（0）=0可知：f（x）在R上單調(diào)遞增；因此正確；
④由③函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），因此正確；
⑤當(dāng)x≥0時，g（x）=

-ax2

1+x

，則g′（x）=

-ax(2+x)

(1+x)2

≤0，∴函數(shù)g（x）在x≥0時單調(diào)遞減，∴g（x）≤g（0）=0，
因此g（x）在x＞0時無零點(diǎn)．利用奇函數(shù)的性質(zhì)可知：在x＜0時，函數(shù)g（x）也無零點(diǎn)．
又g（0）=0，∴函數(shù)g（x）=f（x）-ax在R上有且僅有一個零點(diǎn)．因此不正確．
綜上可知：只有①③④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、值域、零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．