Question

數(shù)列{a_n}中，a1=

1

3

，an=

an-1

3an-1+1

（n≥2，n∈N^*），
（1）分別求出a₂，a₃，a₄
（2）猜想通項公式a_n
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）先變形遞推公式，再分別代入求出值即可，
（2）由（1）猜想出結(jié)論，
（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答： 解：（1）∵a1=

1

3

，an=

an-1

3an-1+1

=

1

3+ 1 an-1

（n≥2，n∈N^*），
∴a₂=

a1

3a1+1

=

1

3+3

=

1

6

，a₃=

1

3+6

=

1

9

，a₄=

1

3+9

=

1

12

，
（2）由（1）可以猜想a_n=

1

3n

，
（3）①當(dāng)n=1時，顯然成立，
②假設(shè)n=k時也成立，即a_k=

1

3k

，
那么當(dāng)n=k+1時，a_k+1=

1

3+ 1 ak

=

1

3+3k

=

1

3(k+1)

也成立，
由①②可知，猜想成立．

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納的證明，屬于基礎(chǔ)題．