Question

已知圓O：x²+y²=2，直線l：y=kx-2．
（1）若直線l與圓O交于不同的兩點A，B，當∠AOB=

π

2

時，求k的值．
（2）若k=

1

2

，P是直線l上的動點，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點為C、D，探究：直線CD是否過定點；
（3）若EF、GH為圓O：x²+y²=2的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，

2

2

），求四邊形EGFH的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用點到直線的距離公式，結(jié)合點O到l的距離d=

2

2

r，可求k的值；
（2）由題意可知：O、P、C、D四點共圓且在以OP為直徑的圓上，C、D在圓O：x²+y²=2上可得直線C，D的方程，即可求得直線CD是否過定點；
（3）設圓心O到直線EF、GH的距離分別為d₁，d₂．則d12+d22=|OM|2=

3

2

，表示出四邊形EGFH的面積，利用基本不等式，可求四邊形EGFH的面積最大值．

解答：解：（1）∵∠AOB=

π

2

，∴點O到l的距離d=

2

2

r…（2分）
∴

2

k2+1

=

2

2

•

2

，
∴k=±

3

…（4分）
（2）由題意可知：O、P、C、D四點共圓且在以OP為直徑的圓上，
設P(t，

1

2

t-2)，其方程為：x(x-t)+y(y-

1

2

t+2)=0，
即x2-tx+y2-(

1

2

t-2)y=0，
又C、D在圓O：x²+y²=2上
∴lCD：tx+(

1

2

t-2)y-2=0，
即(x+

y

2

)t-2y-2=0…（7分）
由

x+ y 2 =0 2y+2=0

，得

x= 1 2 y=-1

，
∴直線CD過定點(

1

2

，-1)…（9分）
（3）設圓心O到直線EF、GH的距離分別為d₁，d₂．
則d12+d22=|OM|2=

3

2

…（11分）
∴|EF|=2

r2- d 2 1

=2

12- d 2 1

，|GH|=2

r2- d 2 2

=2

2- d 2 2

∴S=

1

2

|EF||GH|=2

(2- d 2 1 )(2- d 2 2 )

≤2-

d

2 1

+2-

d

2 2

=4-

3

2

=

5

2

當且僅當2-

d

2 1

=2-

d

2 2

即 d1=d2=

3

2

時，取“=”
∴四邊形EGFH的面積的最大值為

5

2

．…（14分）

點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線恒過定點，考查四邊形面積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．