Question

19．已知函數(shù)f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x．
（1）若x∈[1，8]，求函數(shù)h（x）=（f（x）+1）g（x）的值域；
（2）求函數(shù)M（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x），}&{f（x）≥g（x）}\\{f（x），}&{f（x）＜g（x）}\end{array}\right.$的最大值；
（3）若不等式f（x²）f（$\sqrt{x}$）≥kg（x）對任意x∈[1，8]恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡h（x）=（4-2log₂x）log₂x，令t=log₂x，從而可得y=（4-2t）t=-2（t-1）²+2，從而求值域；
（2）先求函數(shù)f（x）與g（x）的定義域，化簡f（x）-g（x）=3（1-log₂x），從而可得M（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x∈（0，2]}\\{3-2lo{g}_{2}x，x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$；從而求最大值；
（3）化簡f（x²）f（$\sqrt{x}$）≥kg（x）得（3-4log₂x）（3-log₂x）≥klog₂x，令t=log₂x，從而可得（3-4t）（3-t）≥kt，化恒成立問題為最值問題即可．

解答 解：（1）h（x）=（f（x）+1）g（x）=（4-2log₂x）log₂x，
令t=log₂x，
∵x∈[1，8]，∴t∈[0，3]，
y=（4-2t）t=-2（t-1）²+2，
所以h（x）的值域為[-6，2]．
（2）函數(shù)f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x的定義域都是（0，+∞），
f（x）-g（x）=3（1-log₂x），
故M（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x∈（0，2]}\\{3-2lo{g}_{2}x，x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$；
當(dāng)x∈（0，2]時，M（x）的最大值是1，當(dāng)x∈（2，+∞）時，M（x）＜1，
所以M（x）最大值是1．
（3）由f（x²）f（$\sqrt{x}$）≥kg（x）得：（3-4log₂x）（3-log₂x）≥klog₂x，
令t=log₂x，∵x∈[1，8]，∴t∈[0，3]，
∴（3-4t）（3-t）≥kt，
①當(dāng)t=0時，
9≥0恒成立，故k∈R；
②當(dāng)t∈（0，3]時，k≤$\frac{（3-4t）（3-t）}{t}$=4t+$\frac{9}{t}$-15恒成立，
4t+$\frac{9}{t}$≥12，
（當(dāng)且僅當(dāng)4t=$\frac{9}{t}$，即t=$\frac{3}{2}$時，取“=”），
所以（4t+$\frac{9}{t}$-15）_min=-3，所以k≤-3，
綜上所述，k≤-3．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想及恒成立問題化為最值問題的方法，還考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于難題．