Question

11．已知x，y∈R，定義運(yùn)算?：x?y=x（l-y）．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）?（x+a），a為實(shí)數(shù)．
（1）若f（x）＜1對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，求a的取值范圍；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）由新定義可得x²-x-a²+a+1＞0對(duì)一切實(shí)x都成立，運(yùn)用判別式小于0，即可得到a的范圍；
（2）由f（x）＞0得，（x-a）（x+a-1）＜0，討論a與1-a的大小，由二次不等式的解法，即可得到解集．

解答 解：（1）由已知得，f（x）=（x-a）（1-x-a）=-x²+x+a²-a
因?yàn)閒（x）＜1對(duì)一切實(shí)x都成立，
即x²-x-a²+a+1＞0對(duì)一切實(shí)x都成立，
所以△=（-1）²-4（-a²+a+1）＜0，
解之得，$-\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{3}{2}$．
（2）由f（x）＞0得，（x-a）（1-x-a）＞0，即（x-a）（x+a-1）＜0，
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，a＞1-a，所求不等式解集為（1-a，a）；
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，a=1-a，所求不等式解集為∅；
當(dāng)a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，a＜1-a，所求不等式解集為（a，1-a）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，主要考查二次不等式的恒成立問(wèn)題，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．