Question

已知f（x）=log_ax，g（x）=2log_a（2x+t-2）（a＞0，a≠1，t∈R）．
（1）當t=5時，求函數(shù)g（x）圖象過的定點；
（2）當t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2時，求a的值；
（3）當0＜a＜1，x∈[1，2]時，有f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

（本小題滿分10分）
解：（1）當t=5時，g（x）=2log_a（2x+3）（a＞0，a≠1，t∈R），
∴g（x）圖象必過定點（-1，0）．…
（2）當t=4時，
當x∈[1，2]時，∈[16，18]，
若a＞1，則F（x）_min=log_a16=2，解得a=4或a=-4（舍去）；
若0＜a＜1，則F（x）_min=log_a18=2，解得（舍去）．故a=4．…
（3）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在某區(qū)間上最值問題．由題意知，在x∈[1，2]時恒成立，
∵0＜a＜1，∴在x∈[1，2]時恒成立，…
在x∈[1，2]時恒成立，∴t≥1．
故實數(shù)t的取值范圍[1，+∞）． …
分析：（1）當t=5時，g（x）=2log_a（2x+3）令2x+3=1，求得定點橫坐標．
（2）求得，利用基本不等式求得∈[16，18]，再分若a＞1，0＜a＜1列出相應的方程并求解．
（3）由已知，在x∈[1，2]時恒成立．0＜a＜1，轉(zhuǎn)化為在x∈[1，2]時恒成立．
點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化、計算能力．