Question

已知f（x）=log

1

2

x+3的反函數(shù)為f^-1（x），則使f^-1（x）＜x-2成立的x的取值范圍是______．

Answer 1

由y=log

1

2

x+3，（x＞0），解得x=(

1

2

)y-3，將x與y互換得到y(tǒng)=2^3-x，
∴f（x）=log

1

2

x+3的反函數(shù)為f^-1（x）=2^3-x（x∈R）．
由f^-1（x）＜x-2，即2^3-x＜x-2．
令g（x）=2^3-x-x+2，
由指數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法可知：y=2^3-x在R上單調(diào)遞減，
由一次函數(shù)的單調(diào)性可知：y=-x+2在R上單調(diào)遞減，
∴g（x）=2^3-x-x+2在R上單調(diào)遞減，
而g（3）=2⁰-3+2=0，
∴當(dāng)x＞3時(shí)，g（x）＜g（3）=0，即2^3-x＜x-2．
因此使f^-1（x）＜x-2成立的x的取值范圍是（3，+∞）．
故答案為（3，+∞）．