Question

15．已知函數(shù)f（x）=e^x-e^-x-$\frac{10}{3}$x．
（1）求f（x）的極值：
（2）討論方程f（x）-m=0的根的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，求出其極大值和極小值，（2）根據(jù)（1）求出m的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=e^x-e^-x-$\frac{10}{3}$x，
f′（x）=e^x+e^-x-$\frac{10}{3}$，
令f′（x）＞0解得：x＞ln3或x＜-ln3，
令f′（x）＜0，解得：-ln3＜x＜ln3，
∴f（x）_極小值=f（ln3）=$\frac{8}{3}$-$\frac{10}{3}$ln3，
f（x）_極大值=f（-ln3）=$\frac{10}{3}$ln3-$\frac{8}{3}$；
（2）由（1）得：
f（x）_極小值=f（ln3）=$\frac{8}{3}$-$\frac{10}{3}$ln3＜0，
f（x）_極大值=f（-ln3）=$\frac{10}{3}$ln3-$\frac{8}{3}$＞0，
m＞$\frac{10}{3}$ln3-$\frac{8}{3}$時，方程有1個根，
m=$\frac{10}{3}$ln3-$\frac{8}{3}$時，方程有2個根，
$\frac{8}{3}$-$\frac{10}{3}$ln3＜m＜$\frac{10}{3}$ln3-$\frac{8}{3}$時，方程有3個根，
m=$\frac{8}{3}$-$\frac{10}{3}$ln3時，方程有2個根，
m＜$\frac{8}{3}$-$\frac{10}{3}$ln3時，方程有1個根．

點評 本題考查了級別不等式的性質，考查導數(shù)的應用，函數(shù)的單調性問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．