Question

3．已知直線y=x-2與拋物線y²=2x相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求證：OA⊥OB．
（2）求|AB|．

Answer 1

分析 （1）將直線方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，求得y₁y₂及x₁x₂，由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，即可證明OA⊥OB；
（2）利用弦長公式即可求得|AB|．

解答 解：（1）證明：設(shè)A（x₁，y₁ ），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，整理得：y²-2y-4=0，
∴y₁+y₂=2，y₁y₂=-4
∴x₁x₂=（y₁+2）（y₂+2）=y₁y₂+2（y₁+y₂）+4=4，
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=4+（-4）=0，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
∴OA⊥OB．
（2）由（1）可知：x₁+x₂=（y₁+2）+（y₂+2）=y₁+y₂+4=6，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{36-4×4}$=2$\sqrt{10}$，
∴|AB|=2$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式，考查計算能力，屬于中檔題．