Question

8．設(shè)F₁、F₂是雙曲線x²-4y²=4的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在雙曲線上，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，則|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2．

Answer 1

分析 求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，由雙曲線的定義及勾股定理即可求得：|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2．

解答 解：∵雙曲線x²-4y²=4，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$，則a=2，b=1，c=$\sqrt{5}$，
雙曲線的定義可知：||$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|-丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨|=4   ①，
$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
由勾股定理可知：|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|²+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨²=（2$\sqrt{5}$）²，②
由①②解得：|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的定義，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．