Question

11．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為e=$\frac{1}{2}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左右焦點(diǎn)，B₁為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，△B₁F₁F₂的面積為$\sqrt{3}$
（Ⅰ）求橢圓E的方程
（Ⅱ）若A，B，C，D是橢圓上異于頂點(diǎn)且不重合的四個(gè)點(diǎn)，AC于BD相交于點(diǎn)F₁，且$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=0，求$\frac{|AC|}{|BD|}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，b=$\sqrt{3}$c，S=$\frac{1}{2}$×2c×b=$\sqrt{3}$，bc=$\sqrt{3}$，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AC的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及弦長(zhǎng)公式即可求得丨AC丨的值，將-$\frac{1}{k}$代入可得丨BD丨，由k²＞0，即可求得$\frac{|AC|}{|BD|}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，b=$\sqrt{3}$c，
△B₁F₁F₂的面積的面積S=$\frac{1}{2}$×2c×b=$\sqrt{3}$，則bc=$\sqrt{3}$，
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：F（-1，0），由函數(shù)的對(duì)稱性，直線的斜率存在且不為0，
設(shè)直線ACy=k（x+1），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
則丨AC丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
將-$\frac{1}{k}$代入上式可得丨BD丨=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，
則$\frac{|AC|}{|BD|}$=$\frac{3{k}^{2}+4}{4{k}^{2}+3}$=$\frac{3}{4}$+$\frac{7}{4}$•$\frac{1}{4{k}^{2}+3}$，
由k²＞0，則$\frac{3}{4}$＜$\frac{3}{4}$+$\frac{7}{4}$•$\frac{1}{4{k}^{2}+3}$＜$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{|AC|}{|BD|}$的取值范圍（$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式．考查橢圓與函數(shù)最值得綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．