Question

下列四個(gè)命題中：
①“k=1”是“函數(shù)y=cos²kx-sin²kx最小正周期為π”的充要條件；
②“m=

1

2

”是“直線（m+2）x+3my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0互垂直”的充分不必要條件；
③函數(shù)y=

x2+4

x2+3

的最小值為2；
其中假命題的為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①利用二倍角的余弦公式與余弦函數(shù)的周期公式可求得k=±1時(shí)，函數(shù)y=cos²kx-sin²kx最小正周期為π，再利用充分必要條件的概念可判斷①；
②依題意，（m+2）（m-2）+3m（m+2）=0，解得：m=-2或m=

1

2

，利用充分必要條件的概念可判斷②；
③函數(shù)y=

x2+4

x2+3

=

x2+3

+

1

x2+3

，令t=

x2+3

（t≥

3

），則y=t+

1

t

在[

3

，+∞）上單調(diào)遞增，計(jì)算后可判斷③．

解答： 解：①，∵y=cos²kx-sin²kx=cos2kx，
∴k=±1時(shí)，函數(shù)y=cos²kx-sin²kx最小正周期為π，
∴“k=1”是“函數(shù)y=cos²kx-sin²kx最小正周期為π”的充分不必要條件，故①錯(cuò)誤；
②，∵直線（m+2）x+3my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直，
∴（m+2）（m-2）+3m（m+2）=0，解得：m=-2或m=

1

2

，
∴“m=

1

2

”是“直線（m+2）x+3my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0互垂直”的充分不必要條件，故②正確；
③，∵y=

x2+4

x2+3

=

x2+3

+

1

x2+3

，令t=

x2+3

（t≥

3

），則y=t+

1

t

在[

3

，+∞）上單調(diào)遞增，
∴y≥

3

+

1

3

=

4 3

3

，
∴函數(shù)y=

x2+4

x2+3

的最小值為

4 3

3

，故③錯(cuò)誤；
綜上所述，假命題的為①③．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查充分必要條件的概念及應(yīng)用，考查二倍角的余弦與余弦函數(shù)的周期公式、對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分析、運(yùn)算、推理能力，屬于中檔題．