Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面邊長為8，對(duì)角線B₁C=10，D為AC的中點(diǎn)．
（1）求證AB₁∥平面C₁BD；
（2）求直線AB₁到平面C₁BD的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)B₁C∩BC₁=O，根據(jù)OD為△ACB₁的中位線，故有AB₁∥OD，再利用直線和平面平行的判定定理證得AB₁∥平面C₁BD．
（2）由題意可得高CC₁=6，由AB₁∥平面C₁BD，點(diǎn)A到平面C₁BD的距離h即為所求．再由VA-BC1D=VC1-ABD 求得h的值．

解答： 解：（1）設(shè)B₁C∩BC₁=O，則由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性質(zhì)可得O為B₁C的中點(diǎn)．
再根據(jù)D為AC的中點(diǎn)，可得OD為△ACB₁的中位線，故有AB₁∥OD．
而OD?平面C₁BD AB₁?平面C₁BD，故有AB₁∥平面C₁BD．
（2）由正三棱柱底面邊長為8，對(duì)角線B₁C=10，可得高CC₁=6．
由AB₁∥平面C₁BD，可得點(diǎn)A到平面C₁BD的距離h即為所求．
由于BD=8×

3

2

=4

3

，C₁D=

62+42

=2

13

，再由VA-BC1D=VC1-ABD 可得

1

3

•（

1

2

BD•C₁D）•h=

1

3

•（

1

2

•AD•BD）•C₁C，即

1

3

•（

1

2

×4

3

×2

13

）•h=

1

3

•（

1

2

×4×4

3

）×6，
求得h=

12 13

13

，即直線AB₁到平面C₁BD的距離為

12 13

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．