Question

設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定義域?yàn)镽；命題q：不等式3^x-9^x＜a對(duì)一切正實(shí)數(shù)都成立，如果命題p，q中至少有一個(gè)真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定義域?yàn)镽，對(duì)a分類討論：當(dāng)a≤0時(shí)，不滿足條件，應(yīng)舍去；當(dāng)a＞0時(shí)，由于ax²-x+

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a＞0恒成立，可得△＜0．對(duì)于命題q：不等式3^x-9^x＜a對(duì)一切正實(shí)數(shù)都成立，可得a＞（3^x-9^x）_max．利用指數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．由于命題p，q中至少有一個(gè)真命題，求出上面的交集即可．

解答： 解：命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+

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a）的定義域?yàn)镽，
當(dāng)a≤0時(shí)，不滿足條件，應(yīng)舍去；當(dāng)a＞0時(shí)，∵ax²-x+

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a＞0恒成立，∴△＜0，∴1-a²＜0，解得a＞1或a＜-1．綜上可得：a的取值范圍是a＞1或a＜-1．
命題q：不等式3^x-9^x＜a對(duì)一切正實(shí)數(shù)都成立，∴a＞（3^x-9^x）_max．
令f（x）=3^x-9^x=-(3x-

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)2+

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≤

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．
∴a＞

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．
∵命題p，q中至少有一個(gè)真命題，
∴a的取值范圍是a＞1或a＜-1或a＞

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．
因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞

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或a＜-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、復(fù)合命題的真假判定方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．