Question

如圖所示，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左、右兩個焦點，A，B為兩個頂點，已知橢圓C上的點（1，

3

2

）到焦點F₁，F(xiàn)₂兩點的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）過橢圓C的焦點F₂作AB的平行線交橢圓于P，Q兩點，求△F₁PQ的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由橢圓定義可得a=2，將點(1，

3

2

)代入橢圓方程求得b²=3，從而得到c=1，寫出橢圓方程和焦點坐標；
（2）由條件求出直線PQ的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去x，得到y(tǒng)的二次方程，運用韋達定理，可求|y₁-y₂|，
再由面積公式

1

2

|F₁F₂|•|y₁-y₂|計算即得．

解答： 解：（1）由題設(shè)知：2a=4，即a=2，
將點(1，

3

2

)代入橢圓方程得 

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1，得b²=3
∴c²=a²-b²=4-3=1，
故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
焦點F₁、F₂的坐標分別為（-1，0）和（1，0）．
（2）由（1）知A(-2，0)， B(0，

3

)，
∴kPQ=kAB=

3

2

，∴PQ所在直線方程為y=

3

2

(x-1)，
由

y= 3 2 (x-1) x2 4 + y2 3 =1

得 8y2+4

3

y-9=0
設(shè)P （x₁，y₁），Q （x₂，y₂），則y1+y2=-

3

2

， y1•y2=-

9

8

，
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

3 4 +4× 9 8

=

21

2

，
∴S△F1PQ=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

1

2

×2×

21

2

=

21

2

．

點評：本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立消去一個未知數(shù)，運用韋達定理求解的方法，考查運算能力，屬于中檔題．