Question

11．如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面AD₁C把正方體分成兩部分．求：
（1）直線C₁B與平面AD₁C所成的角；
（2）平面C₁D₁DC與平面AD₁C所成二面角的平面角的余弦值；
（3）兩部分中體積大的部分的體積．

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線C₁B與平面AD₁C所成的角．
（2）求出平面AD₁C的法向量和平面C₁D₁DC的法向量，利用向量法能求出平面C₁D₁DC與平面AD₁C所成二面角的平面角的余弦值．
（3）求出${V}_{{D}_{1}-ADC}$和正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積，由此能求出兩部分中體積大的部分的體積．

解答 解：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則C₁（0，a，a），B（a，a，0），A（a，0，0），D₁（0，0，a），C（0，a，0），
$\overrightarrow{{C}_{1}B}$=（a，0，-a），$\overrightarrow{AC}$=（-a，a，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-a，0，a），
設(shè)平面AD₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-ax+ay=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-ax+az=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
設(shè)直線C₁B與平面AD₁C所成的角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{C}_{1}B}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{C}_{1}B}|•|\overrightarrow{n}|}$=0，
∴直線C₁B與平面AD₁C所成的角為0°．
（2）平面AD₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
平面C₁D₁DC的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)平面C₁D₁DC與平面AD₁C所成二面角的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴平面C₁D₁DC與平面AD₁C所成二面角的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（3）∵S_△ADC=$\frac{1}{2}{a}^{2}$，∴${V}_{{D}_{1}-ADC}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{2}×a$=$\frac{{a}^{3}}{6}$，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積V=a³，
∴兩部分中體積大的部分的體積V_大=V-${V}_{{D}_{1}-ADC}$=${a}^{3}-\frac{{a}^{3}}{6}$=$\frac{5{a}^{3}}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查線面角的求法，考查二面角的求法，考查幾何體的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．