Question

20．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱BC上移動(dòng)．
（1）當(dāng)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并請(qǐng)說明理由；
（2）當(dāng)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，求直線EF與平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）EF∥平面PAC，利用三角形中位線的性質(zhì)及線面平行的判定定理證明即可；
（2）求出CP與平面PDE所成角的正弦值，即可求直線EF與平面PDE所成角的正弦值．

解答 解：（1）EF∥平面PAC．
證明：∵E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)是PB中點(diǎn)，∴EF∥CP，
∵CP?平面PAC，EF?平面PAC，∴EF∥平面PAC：
（2）E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)是PB中點(diǎn)，∴EF∥CP且EF=$\frac{1}{2}CP$．
∵底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，
∴PC=2$\sqrt{3}$，∴EF=$\sqrt{3}$，
△PDE中，PD=2$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{5}$，PE=3，cos∠DPE=$\frac{8+9-5}{2×2\sqrt{2}×3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠DPE=45°，
∴S_△DPE=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×3×\frac{\sqrt{2}}{2}$=3，
設(shè)C到平面DPE的距離為h，則由等體積可得$\frac{1}{3}×3h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×2$，
∴h=$\frac{2}{3}$，
∵PC=2$\sqrt{3}$，
∴CP與平面PDE所成角的正弦值=$\frac{\frac{2}{3}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
∴直線EF與平面PDE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判定，線面角求解．考查空間想象能力、推理論證、轉(zhuǎn)化計(jì)算能力．