Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}x|，0＜x＜2}\\{sin（\frac{π}{4}x），2≤x≤10}\end{array}\right.$，若存在實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃，x₄，滿足x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），則x₁x₂x₃+$\frac{{x}_{4}}{{x}_{3}}$+1的取值范圍是（　�。�

• A． （7，8）
• B． [4$\sqrt{3}$，8）
• C． [4$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （7，+∞）

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）的圖象，確定x₁x₂=1，x₃+x₄=12，2＜x₃＜4，8＜x₄＜10，利用對(duì)號(hào)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：函數(shù)的圖象如圖所示

其中0＜x₁＜1＜x₂＜2＜x₃＜x₄，且x₃，x₄，關(guān)于x=6對(duì)稱，
∵f（x₁）=f（x₂），
∴-log₂x₁=log₂x₂，
∴l(xiāng)og₂x₁x₂=0，
∴x₁x₂=1，
∵f（x₃）=f（x₄），
∴x₃+x₄=12，2＜x₃＜4，8＜x₄＜10，
∴x₁x₂x₃+$\frac{{x}_{4}}{{x}_{3}}$+1=x₃+$\frac{{x}_{4}}{{x}_{3}}$+1=x₃+$\frac{12}{{x}_{3}}$≥4$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x₃=2$\sqrt{3}$時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)x=2時(shí)，x₃+$\frac{12}{{x}_{3}}$=8，
當(dāng)x=4時(shí)，x₃+$\frac{12}{{x}_{3}}$=7，
∴x₁x₂x₃+$\frac{{x}_{4}}{{x}_{3}}$+1的取值范圍為[4$\sqrt{3}$，8）
故本題選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的圖象畫法、函數(shù)的值域的應(yīng)用、函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想，難度較大．