Question

已知函數(shù)f（x）是定義在[a，b]上的函數(shù)，若存在x₀∈（a，b），使得函數(shù)在[a，x₀]上單調遞增，在[x₀，b]上單調遞減，則稱y=f（x）為[a，b]上的“單凸函數(shù)”，x₀稱為“凸點”，包含“凸點”的區(qū)間稱為“含凸區(qū)間”．
（1）判斷下列函數(shù)中，哪些是[0，1]上的“單凸函數(shù)”？若是，指出“凸點”；若不是，說明理由．
①f₁（x）=x-2x²
②f₂（x）=1-|2x-1|
③f₃（x）=|log₂（x+

1

2

）|
④f₄（x）=sin4x
（2）若函數(shù)f（x）=ax³+x（a＜0）是[1，2]上的“單凸函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）某學生研究發(fā)現(xiàn)如下命題：設y=f（x）是[a，b]上的“單凸函數(shù)”，若m，n∈（a，b），m＜n，且f（m）＞f（n），則[a，n]為y=f（x）的“含凸區(qū)間”，試判斷該命題的真假，并說明理由．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)“單凸函數(shù)”和“凸點”的定義，利用導數(shù)的性質能求出結果．
（2）若要使函數(shù)為“單凸函數(shù)”，在此區(qū)間上需滿足二階導數(shù)小于0，且存在極值點，由此能求出a的范圍．
（3）由f（x）是單凸函數(shù)，得在[a，b]不是單純的單邊增函數(shù)或單邊減函數(shù)，由此能推導出[a，n]為f（x）的含凸區(qū)間．

解答： 解：（1）∵①f₁（x）=x-2x²，∴f1′(x)=1-4x，
由f1′(x)=0，得x=

1

4

，
x∈[0，

1

4

)時，f1′(x)＞0，f₁（x）是增函數(shù)；
x∈（

1

4

，1]時，f1′(x)＜0，f₁（x）是減函數(shù)．
∴①f₁（x）=x-2x²是[0，1]上的“單凸函數(shù)”，“凸點”為

1

4

；
∵②f₂（x）=1-|2x-1|=

2-2x，x≥ 1 2 2x，x＜ 1 2

，
∴f2′(x)=

-2，x≥ 1 2 2，x＜ 1 2

，
∴②f₂（x）=1-|2x-1|不是[0，1]上的“單凸函數(shù)”；
∵③f₃（x）=|log₂（x+

1

2

）|=

log2(x+ 1 2 )，x≥ 1 2 -log2(x+ 1 2 )，- 1 2 ＜x＜ 1 2

，
∴f3′(x)=

1 (x+ 1 2 )ln2 ，x≥ 1 2 - 1 (x+ 1 2 )ln2 ，- 1 2 ＜x＜ 1 2

，
∴③f₃（x）=|log₂（x+

1

2

）|不是[0，1]上的“單凸函數(shù)”；
∵④f₄（x）=sin4x，
∴f4′(x)=4cos4x，
由f4′(x)=0，得4x=

π

2

+2kπ，即x=

π

8

+

kπ

2

，k∈Z，
當x∈[0，

π

8

）時，f4′(x)＞0，函數(shù)f₄（x）是增函數(shù)；
當x∈（

π

8

，1]時，f4′(x)＜0，函數(shù)f₄（x）是減函數(shù)．
∴④f₄（x）=sin4x是[0，1]上的“單凸函數(shù)”，“凸點”是

π

8

．
（2）若要使函數(shù)為“單凸函數(shù)”，在此區(qū)間上需滿足二階導數(shù)小于0，且存在極值點，
∵f（x）=ax³+x（a＜0），∴f′（x）=3ax²+1，
f''（x）=6ax，
令f′（x）=0，得3ax²+1=0，x²=-

1

3a

，
1＜x＜2，1＜x²＜4，1＜-

1

3a

＜4
解得：-

1

3

＜a＜-

1

12

由二階導數(shù)小于0，得a＜0，
∴a的范圍：-

1

3

＜a＜-

1

12

．
（3）該命題是正確的
∵f（x）是單凸函數(shù)，
∴在[a，b]不是單純的單邊增函數(shù)或單邊減函數(shù)，
設凸點為P，
∵m，n∈（a，b），m＜n，且f（m）＞f（n），
∴P必在[m，n]上，
∴P也在[a，n]上，
∴[a，n]為f（x）的含凸區(qū)間．

點評：本題考查單凸函數(shù)”的判斷和“凸點”的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查含凸區(qū)間的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．