Question

過點M（2，0）的直線l與拋物線C：y²=4x相交于A，B兩點，過點A，B分別作y軸的垂線交直線l′：y=-2x-2于點A′，B′．
（Ⅰ）若四邊形A′B′BA是等腰梯形，求直線l的方程；
（Ⅱ）若A′，O，B，三點共線，求證：AB′與y軸平行；
（Ⅲ）若對于任意一個以AB為直徑的圓，在直線x=m上總存在點Q在該圓上，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）若四邊形A′B′BA為等腰梯形，則k_AB=2，由此能求出直線l的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為x=ty+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A′(-

y1+2

2

，y1)，B′(-

y2+2

2

，y2)，由

x=ty+2 y2=4x

，得y²-4ty-8=0，由此能證明直線AB′與y軸平行．
（Ⅲ）設(shè)Q（m，y₀），由已知以AB為直徑的圓經(jīng)過點Q，得k_QA•k_QB=-1，由此推導(dǎo)出16t²-4m²+16m+16mt²+16≥0對一切的t∈R恒成立，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： （本小題滿分15分）
（Ⅰ）解：若四邊形A′B′BA為等腰梯形，
則k_AB=2，
故直線l的方程為y=2x-4．…（2分）
（Ⅱ）證明：設(shè)直線AB的方程為x=ty+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則A′(-

y1+2

2

，y1)，B′(-

y2+2

2

，y2)，
由

x=ty+2 y2=4x

，得y²-4ty-8=0，
∴y₁+y₂=4t，y₁y₂═-8．…（4分）
因為A′，O，B三點共線，所以

y2

ty2+2

=

-2y1

y1+2

，…（5分）
即2y₁+y₂=8t+4，又y₁+y₂=4t，得y₂=-4，又y₁y₂=-8，
所以y₁=2，所以A（1，2），B′（1，-4），…（7分）
故直線AB′與y軸平行．…（8分）
（Ⅲ）解：設(shè)Q（m，y₀），由已知以AB為直徑的圓經(jīng)過點Q，
得k_QA•k_QB=-1，…（9分）
即

y1-y0

x1-m

•

y2-y0

x2-m

=-1，
即y1y2-y0(y1+y2)+

y

2 0

=-x1x2+m(x1+x2)-m2．（*）
由（Ⅱ）知y₁+y₂=4t，y₁y₂=-8，
則x₁x₂=4，x1+x2=4t2+4，
代入（*）式，得y02-4ty0+m2-4m-4mt2-4=0．…（11分）
因為總存在點Q，所以關(guān)于y₀的方程恒有解，所以△≥0要恒成立．
即16t²-4m²+16m+16mt²+16≥0對一切的t∈R恒成立，
整理后得（4m+4）t²≥m²-4m-4．…（12分）
①當(dāng)m≤-1時，上式不可能對一切的t∈R恒成立；…（13分）
②當(dāng)m＞-1時，t2≥

m2-4m-4

4m+4

對一切的t∈R恒成立，
只需要m²-4m-4≤0，即2-2

2

≤m≤2+2

2

．…（14分）
綜上，所求的實數(shù)m的取值范圍為[2-2

2

，2+2

2

]． …（15分）

點評：本題考查直線方程的求法，考查直線與y軸平行的證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．