Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^x在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程是y=-2x+1，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ） 求實(shí)數(shù)a、b的值；
（Ⅱ） 求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ） 由f（x）=（x²+ax+b）e^x，得f'（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程是y=-2x+1，故（0，f（0））適合方程y=-2x+1，且f′（0）=-2；聯(lián)立可得結(jié)果．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（x²-3x+1）e^x，f'（x）=（x²-x-2）e^x=（x+1）（x-2）e^x，令f'（x）=0，得x₁=-1或x₂=2．再判斷這兩點(diǎn)左右導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求出極值．

解答： （Ⅰ） 由f（x）=（x²+ax+b）e^x，得f'（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程是y=-2x+1，
所以

f(0)=1 f′(0)=-2

即

b=1 a+b=-2

解得a=-3，b=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（x²-3x+1）e^x，f'（x）=（x²-x-2）e^x=（x+1）（x-2）e^x，
令f'（x）=0，得x₁=-1或x₂=2．
當(dāng)x＜-1時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)-1＜x＜2時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞2時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，f（x）_極大值=f(-1)=

5

e

；當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，f（x）_極小值=f（2）=-e²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，特別是曲線的切線與函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，屬于中檔題．