Question

永恒太陽能公司的某車間生產(chǎn)某設備A的固定成本為10000元，每生產(chǎn)一臺設備A需要增加投入50元，已知月總收益滿足函數(shù)：R（x）=

200x- 1 4 x2(0≤x≤300) 37500(x＞300)

，其中x是某設備A的月產(chǎn)量，
（1）將該車產(chǎn)的月利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)．
（2）當月產(chǎn)量為何值時，該車間所獲得的月利潤最大？最大月利潤是多少？（總收益=總成本+利潤）．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：計算題,應用題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）設月產(chǎn)量為x臺，月利潤為f（x）元，則總成本為10000+50x元，當0≤x≤300，f（x）=200x-

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x²-10000-50x；當x＞300，f（x）=27500-50x．即可得到f（x）的函數(shù)式；
（2）分別求出當0≤x≤300時，當x＞300，函數(shù)的最值，注意運用配方和函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）設月產(chǎn)量為x臺，月利潤為f（x）元，則總成本為10000+50x元，
當0≤x≤300，f（x）=200x-

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x²-10000-50x=-

1

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x²+150x-10000；
當x＞300，f（x）=37500-10000-50x=27500-50x．
則有f（x）=

- 1 4 x2+150x-10000，0≤x≤300 27500-50x，x＞300

；
（2）當0≤x≤300時，f（x）=-

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x²+150x-10000=-

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（x-300）²+12500，
則當x=300時，f（x）取最大，且為12500元；
當x＞300，f（x）遞減，則f（x）＜f（300）=12500，
則當x=300時，f（x）取最大12500，即當當月產(chǎn)量為300臺時，
該車間所獲得的月利潤最大，最大月利潤是12500元．

點評：本題考查分段函數(shù)的運用，正確理解利潤=總收益-總成本和熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．