Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n=1-S_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=n•a_n，數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：

1

2

≤T_n＜2．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）首先利用遞推關系式求出數列中相鄰項的關系，進一步求出數列的通項公式．
（2）利用（1）的結果，利用乘公比錯位相減法求數列的和，最后利用放縮法求出結論．

解答： 解：（1）由a_n=1-S_n，得a₁=1-S₁，又S₁=a₁，所以a1=

1

2

當n≥2時，由a_n=1-S_n，
解得：a_n-1=1-S_n-1
∴a_n-a_n-1=（1-S_n）-（1-S_n-1）
=S_n-1-S_n=-a_n
∴

an

an-1

=

1

2

∴{a_n}是以

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數列
∴an=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n
證明：（2）bn=n•an=

n

2n

∴Tn=

1

2

+2•

1

22

+3•

1

23

+…+n•

1

2n

1

2

Tn=1•

1

22

+2•

1

23

+…+(n-1)•

1

2n

+n•

1

2n+1

以上兩式相減，得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-n•

1

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-(

1

2

)n-

n

2n+1

∴Tn=2-(n+2)•

1

2n

∵T_n+1-T_n=bn+1=

n+1

2n+1

＞0，
∴數列{T_n}單調遞增   
∴Tn≥T1=b1=

1

2

，
又Tn=2-(n+2)•

1

2n

＜2
∴

1

2

≤Tn＜2

點評：本題考查的知識要點：利用遞推關系式求數列的通項公式，乘公比錯位相減法的應用，放縮法在數列求和中的應用．屬于中等題型．