Question

5．設(shè)函數(shù)$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（a{x^2}+2x-1）$，$g（x）=\frac{{2+2sin（2x+\frac{π}{6}）}}{{sinx+\sqrt{3}cosx}}$，若不論x₂取何值，f（x₁）＞g（x₂）對任意${x_1}∈[\frac{7}{10}，\frac{3}{2}]$總是恒成立，則a的取值范圍為（　�。�

• A． $（-∞，-\frac{7}{10}）$
• B． $（-∞，-\frac{4}{5}）$
• C． $（-\frac{63}{80}，+∞）$
• D． $（-\frac{40}{49}，-\frac{4}{5}）$

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡得g（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）≤2，依題意可得f（x₁）_min＞g（x₂）_max=2，即當(dāng)$\frac{7}{10}$≤x≤$\frac{3}{2}$時，0＜ax²+2x-1＜$\frac{1}{4}$恒成立，通過分類討論，即可求得a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（a{x^2}+2x-1）$，$g（x）=\frac{{2+2sin（2x+\frac{π}{6}）}}{{sinx+\sqrt{3}cosx}}$=$\frac{2+2cos[\frac{π}{2}-（2x+\frac{π}{6}）]}{2（\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx）}$
=$\frac{2-2cos（2x+\frac{2π}{3}）}{2sin（x+\frac{π}{3}）}$=$\frac{{2sin}^{2}（x+\frac{π}{3}）}{sin（x+\frac{π}{3}）}$=2sin（x+$\frac{π}{3}$）≤2，即g（x）_max=2，
因為不論x₂取何值，f（x₁）＞g（x₂）對任意${x_1}∈[\frac{7}{10}，\frac{3}{2}]$總是恒成立，
所以f（x₁）_min＞g（x₂）_max，
即對任意$x∈[\frac{7}{10}，\frac{3}{2}]$，$lo{g}_{\frac{1}{2}}（a{x}^{2}+2x-1）$＞2恒成立，
即當(dāng)$\frac{7}{10}$≤x≤$\frac{3}{2}$時，0＜ax²+2x-1＜$\frac{1}{4}$恒成立，
1°由ax²+2x-1＜$\frac{1}{4}$得：ax²＜$\frac{5}{4}$-2x，即a＜$\frac{5}{{4x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{5}{4}$（$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{5}$）²-$\frac{4}{5}$，
令h（x）=$\frac{5}{4}$（$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{5}$）²-$\frac{4}{5}$，
因為$\frac{2}{3}$≤$\frac{1}{x}$≤$\frac{10}{7}$，
所以，當(dāng)$\frac{1}{x}$=$\frac{4}{5}$時，[h（x）]_min=-$\frac{4}{5}$，故a＜-$\frac{4}{5}$；
2°由0＜ax²+2x-1得：a＞${（\frac{1}{x}）}^{2}$-$\frac{2}{x}$，
令t（x）=${（\frac{1}{x}）}^{2}$-$\frac{2}{x}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1，
因為$\frac{2}{3}$≤$\frac{1}{x}$≤$\frac{10}{7}$，
所以，當(dāng)x=$\frac{3}{2}$即$\frac{1}{x}$=$\frac{2}{3}$時，t（$\frac{3}{2}$）=（$\frac{2}{3}$-1）²-1=-$\frac{8}{9}$；
當(dāng)x=$\frac{7}{10}$，即$\frac{1}{x}$=$\frac{10}{7}$時，t（$\frac{7}{10}$）=（$\frac{10}{7}$-1）²-1=-$\frac{40}{49}$，顯然，-$\frac{40}{49}$＞-$\frac{8}{9}$，
即[t（x）]_max=-$\frac{40}{49}$，故a＞-$\frac{40}{49}$；
綜合1°2°知，-$\frac{40}{49}$＜a＜-$\frac{4}{5}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)恒成立問題，求得g（x）_max=2是關(guān)鍵，考查等價轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想的綜合運(yùn)用，考查推理運(yùn)算能力，屬于難題．