Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），過點A（-a，0），B（0，b）的直線的傾斜角為

π

6

，原點到該直線的距離為

2

2

，
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在實數k，直線y=kx+2交橢圓于Q，P兩點，以PQ為直徑的圓過點D（-1，0），若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用兩點連線的斜率公式及點到直線的距離公式列出橢圓的三個參數a，b，c的關系，通過解方程求出a，b，c的值，寫出橢圓的方程．
（2）將條件以PQ為直徑的圓過點D（-1，0）轉化為PD⊥QD，設出直線的方程將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用向量垂直的充要條件列出等式，求出直線的斜率．

解答： 解：（1）∵過點A（-a，0），B（0，b）的直線的傾斜角為

π

6

，原點到該直線的距離為

2

2

，
∴

b

a

=

3

3

，

1

2

ab=

1

2

•

2

2

•

a2+b2

，
∴a=

3

，b=1，
∴橢圓方程是：

x2

3

+y2=1；
（2）將y=kx+2代入橢圓方程，消去y，可得（3k²+1）x²+12kx+9=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），以PQ為直徑的圓過D（-1，0）
則PD⊥QD，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
又y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，
得（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0，
又x₁+x₂=

-12k

3k2+1

，x₁x₂=

9

3k2+1

，
代上式，得k=

7

6

，
∵此方程中，△=144k²-36（3k²+1）＞0，∴k＞1，或k＜-1．
∴存在k=

7

6

滿足題意．

點評：求圓錐曲線的方程一般利用待定系數法；解決直線與圓錐曲線的關系問題，一般將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到二次方程，再利用根與系數的關系找突破口．